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z変換

遅延器

z変換の基礎ではあまりに数学的な説明になったのでより直感的に。

z変換の式は改めて書きますと
X(z)=\sum_0^\infty x[k]z^{-k}
でした。ここでz^{-k}の係数はk番目にサンプリングしたデータであることに注意します。

さて、これにz^{-1}を乗算すると
X(z)=\sum_0^\infty x[k]z^{-(k+1)}
となります。この式は上の説明によれば「x[k]がk+1番目のサンプリングデータとみなされる」ということなので
1クロック分の遅延器を表すということが分かります。


差分方程式と伝達関数

遅延器と加算器と乗算器を駆使してフィルタを設計してみます。


xの各値とyの各値との関係を表した関係式を差分方程式といって、たとえば次の式は移動平均を表しています。
y[k]=\frac{x[k]+x[k-1]}{2}
これをz変換すると
Y(z)=\frac{X(z)+z^{-1}X(z)}{2}
となるのでその伝達関数は
H(z)=\frac{y(z)}{x(z)}=\frac{1+z^{-1}}{2}
となります。伝達関数は「入力と出力の比」でしたね。


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最終更新：2012年10月16日 16:30
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