ハフ変換

ハフ変換とは

xy画像空間中の直線は、を傾き、を切片として次の式で表されました。

つまり、直線というのは「傾き」と「切片」という二つのパラメータを持ったものであるということが分かります。
言い換えれば、直線は「ab二次元平面」の点として表すことができるということです。

「xy平面の直線」⇔「ab平面の点」ということは分かりましたが、ではxy平面の点というのはどうなるでしょう。
これはさっきの直線の式を変形してやった

からわかります。つまり、xy平面上の点はab平面上では直線になるのです。

点が直線になるというのはどういった意味があるのでしょうか？
これは、「ある点を通るような直線は無数にある」という事実により起こるのです。

例えばという点ですが、これは



といった直線が通ります。これらの直線はそれぞれab平面上にという形でプロットされます。
式(1)によればという点はという点に移るとのことですが、確かに上の三点もこの直線を通っています。

このようなab平面への写像のことをハフ変換といいます。

直線検出

先ほどの説明をまとめますと
「xyの直線」⇔「abの点」　「xyの点」⇔「abの直線」ということでした。
ここで直線検出というのは次のようなプロセスで行います。
「xyのエッジの点」⇒「abの直線」⇒「abの直線の交点」⇒「xyの直線」

まず「xy座標」つまりある画像のそれぞれの画素におけるエッジの点をab平面上の直線に写像します。
ここでab平面にはたくさんの直線ができるわけですが、もし抽出したエッジの点が直線であればどこか一つ、交点ができるはずです。

例えば上の画像の例で考えましょう。



これでab平面にそれぞれの直線をひくと交点が浮かび上がります。
つまり、元のxy座標の3点がという点に乗っていた、ということが分かるのです。

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