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z変換の基礎

ラプラス変換と種々の性質

一応変換の定義を書いておきますと
F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_0^\infty f(t)e^{-st} dt
となります。

さて、種々の公式を書いていきます。まず、インパルス関数のラプラス変換は
\mathcal{L}[\delta(t)]=1 \cdots (1)
というようにズバリ1となります。

また時間軸での平行移動は次のようになりました。
\mathcal{L}[f(t-a)]=e^{-sa}\mathcal{L}[f(t)] \cdots (2)　

ディジタル信号とは？？

ディジタル信号とはズバリ「インパルス列」です。
ある連続データx(t)が時間Tごとにサンプリングされている場合を考えますと、Tの整数倍以外の時間のデータはすべて廃棄されますので
x(t)\rightarrow x'(t)=\sum_{k=0}^\infty x(kT)\delta(kT) \cdots (3)
という風になります。

ここで一々aTとか書くのがめんどくさいので、"k番目のデータ"という意味で
x(kT)\rightarrow x[k]
という風に書くことにします。

z変換

式(1)(2)を使って式(3)をラプラス変換すると
X(s)=\mathcal{L}[x'(t)]= \sum_{k=0}^\infty x[k]e^{-s\cdot kT}
ここで次のように変数zに変数変換します。
z=e^{-sT}
したがって
X(z)=\mathcal{L}[x'(t)]= \sum_{k=0}^\infty x[k]z^{-k}
としてz変換が導かれます。

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最終更新：2012年10月16日 16:30
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